例8.1

例8.1

题目

[!question]+
题22，设矩阵 仅有两个不同的特征值.
若 相似于对角矩阵,求 的值,并求可逆矩阵 ,使得 为对角矩阵.

分析

[!NOTE]+
直接硬算，注意特征值的特征多项式不要列错了

解

[!done]-
【解】因为

所以 的特征值为 .

因为矩阵 仅有两个不同的特征值,所以 或 .

① 当 时,有 . 因为 相似于对角矩阵,所以 ,故 .

解方程组 ,得 的对应于特征值 1 的线性无关的特征向量 .

对于 ,解方程组 ,得 的对应于特征值 3 的特征向量 .

令 ,则 .

② 当 时,有 . 因为 相似于对角矩阵,所以 ,故 .

解方程组 ,得 的对应于特征值 3 的线性无关的特征向量 .

对于 ,解方程组 ,得 的对应于特征值 1 的特征向量 .

令 ,则 .