题21

题21

题目

[!question]+
设 是区间 内的可导函数,且 . 点 是曲线 上的任意一点, 在点 处的切线与 轴相交于点 ,法线与 轴相交于点 ,若 ,求 上点的坐标 满足的方程.

分析

[!NOTE]+
又是微分方程中令这个手法，这种一阶齐次微分方程真题考过两遍了

解

[!done]-
齐次方程 若一阶微分方程可化为 的形式,则该方程为齐次方程.

引入 ,则 ,代入齐次方程 可得

分离变量, 得

等式两端积分,再以 代替 ,则可得原齐次方程的解.

解 曲线 在点 处的切线方程为 . 由于 在点 处的切线过点 ,故可得

由于同一点处的法线与切线相互垂直,故曲线 在点 处的法线方程为 . 又因为法线过点 ,所以得

由 (1) 式可得 . 由 (2) 式可得 . 由 可得 . 于是,

这是一个齐次微分方程. 令 ,则 . (3) 式可化为

这是一个可分离变量的微分方程. 整理得

(4) 式两端同时积分可得

当 时, . 代入上式得 .

将 代回,整理得曲线方程为

注 近年来, 求齐次微分方程的解的题目较少在数学二试题中出现. 但考试大纲要求 “会解齐次微分方程”. 希望本题能引起大家对该考点的注意.