幂等矩阵

定义 设 ，若 ，则称 为幂等矩阵。

定理 1 幂等矩阵 的特征值只可能是 0 或 1。

证明：设 是 的特征值，则 也是 的特征值，而 的特征值是 ，故 ，即 。

定理 2 设 为 阶幂等矩阵，则 一定可以相似对角化。

证明：即证 0, 1 的代数重数等于几何重数。

首先，0 的代数重数大于等于其几何重数 。

其次，由 知 ，则由这篇文章知

又 ，故 。
因此 。
于是 的基础解系有 个线性无关的特解，即 1 的几何重数为 ，因此 1 的代数重数大于等于 。

而 0 和 1 的代数重数之和为 ，故 0 和 1 的代数重数分别为 和 ，与几何重数一致。

推论 1 阶幂等矩阵 有 == 个 1 和 个 0== 作为特征值。

推论 2 设 为 阶幂等矩阵，，则一定存在 可逆矩阵 使得

推论 3 设 为幂等矩阵，则它矩阵的迹和矩阵的秩之间 。

定理 3 阶矩阵 为幂等矩阵，当且仅当 。

证明：注意到一个矩阵是零矩阵当且仅当其秩为 0，因此 为幂等矩阵当且仅当 。

对分块矩阵 进行分块初等变换：

由于

所以我们证明了 ，即 。

例题

1. 证明：设 为 矩阵，则存在幂等矩阵 和可逆矩阵 使得 。

证明：设 。由等价标准型定理知存在可逆矩阵 使得

设

即可。