例5.4

例5.4

题目

Q:P83 设 3 阶矩阵 有 3 个不同的特征值,且 .
(1) 证明: ;
(2) 若 , 求方程组 的通解.

分析

A:第三列可以由前两列线性表出，所以
n阶方阵有n个不同的特征值，那么这个矩阵是可以相似对角化的，可以相似对角化的矩阵的秩等于非零特征值的个数，这里是3个不同的特征值，所以最多是一个0，所以
这里一夹逼，就得到了
第二问用向量组的观点来处理，把这个横着写，然后把未知数拆开，竖着写

虽然长得和常见的齐次线性方程组的形态不一样，但是这个确实是齐次线性方程组，因为系数矩阵的秩是2，所以它的基础解析只有一个1个，所以我们只要找到一个满足这个方程的解就可以了，给他带上k，就是解系
可以直接取,然后，然后就可以得到通解了，这个通解是
然后给找一个特解，同样是只要满足方程就可以了

直接给，就可以得到一个特解，然后把特解和解系相加，就可以得到通解了，这个通解是

解

也可以像答案一样把系数分离出来，看出来这x
(1)【证】由 ,知 线性相关,故 .
又因为 有 3 个不同的特征值,故 必可相似对角化,于是 至少有 2 个不为零的特征值,从而 ,故 . 由第4讲的 “二、19.” 的 “公式19.” 可知
(2)【解】由 ,知 ,故 为方程组 的一个解.
又 ,所以 为 的一个基础解系.
因为 ,所以 为方程组 的一个特解. 故 的通解为

其中 为任意常数.