收敛域的求法

不缺项幂级数的收敛域

对于不缺项幂级数 ，也就是幂级数的标准形

收敛半径的求法

根据收敛半径的求法，若 或 , 则 的收敛半径 的表达式为
也就是根据比值判别法和根值判别法求出来极限的值，根据这个值的结果就有了收敛半径

收敛区间与收敛域

由收敛半径得到区间 (, ) 为幂级数 的收敛区间，单独考查幂级数在 处的敛散性就可以确定其收敛域为 或 或 或

例1

题目

求幂级数
的收敛域:

解

所以收敛半径 ，从而收敛域是

例2

题目

求幂级数 的收敛半径 (规定 )

解

所以收敛半径 ，即级数仅在点 处收敛。

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缺项幂级数的收敛域

对于缺项幂级数或一般函数项级数

1. 加绝对值，即写成
2. 用正项级数的比值判别法或者根值判别法求收敛区间:
3. 令 (或 ) < 1，求出收敛区间
4. 单独讨论 时 的敛散性，从而确定收敛域

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值得注意的是，无论是求不缺项幂级数的收敛域还缺项幂级数的收敛域的方法只是充分的
即当 的收敛半径存在时，极限 或 可能不存在
如 记 则 不存在， 亦不存在，但是此级数的收敛半径是存在的

例1

题目

已知 的敛散性，讨论 的敛散性

解

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(1) 与 的转化一般通过初等变形来完成，包括“平移”收敛区间；提出或者乘以因式 等
(2) 与 的转化一般通过微积分变形来完成，包括 对级数逐项求导；对级数逐项分等.
(3) 以下三种情况，级数的收敛半径不变，收敛域要具体问题具体分析.
1 对级数提出或者来以因式 ，或者做平移等，收敛半径不变
2 对级数逐项求导，收敛半径不变，收敛域可能缩小.
3 对级数逐项积分，收敛半径不变，收敛域可能扩大.

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