狄利克雷收敛定理

Q:狄利克雷收敛定理用来求和函数 ，也就是通项的和在某点的值
设 是以 为周期的可积函数，如果在 上 满足：
A:1. 连续或只有有限个第一类间断点
2. 至多只有有限个极值点
则 的傅里叶级数在 上处处收敛。记其和函数为 ，则

根据狄利克雷收敛定理，f(x)的傅里叶级数在间断点上，和函数的值 是;;间断点的左极限和间断点的右极限的均值

根据狄利克雷收敛定理，f(x)的傅里叶级数在端点上，和函数的值 是;;左端点的右极限和右端点的左极限的均值，这和间断点的情况在描述上是反的

如何理解这个左右呢

就是我们要让这个趋近的过程是在定义域内的，所以我们要取左端点的右极限，这是因为，右侧才落在定义域中，同样的道理，右端点取的是左极限，因为，左极限才落在定义域中
对于间断点上也是这个落在定义域中的理论，这是因为，间断点上是断层的，所有要向两边，向外面延展，逃离到合法的区域，也就是定义域中去，所以间断点是向左边去和向右去，也就是 和

例1

题目

其中
则

解

由余弦级数 为函数 作周期偶延拓的傅里叶级数，知 以 2 为周期且为偶函数，这里的周期是因为an这开头是2，也就是 所以 ，周期 ，或者说从这个定义域区间上看 因为做了偶延拓，所以周期是
故 .
又 为 的第一类间断点，故由狄利克雷收敛定理，得 .