区间再现 Q:区间再现公式在不改变积分上下限的情况下实现了换元 A:将原积分中的替换成，即上下限之和与的差，因此被称为“区间再现”，这种方法通常应用在含有三角函数得定积分计算上 定义未知数，使得 则 经典例题 证明 使用区间再现公式，得 令，移项得 公式推广 Q:若函数 ， 满足 ，， A:则 这也就是说，两个函数，在给定的区间上， 一个关于区间中点处为轴对称，对称轴是 一个在区间中点处是中心对称，对称中心是点 那么他们乘积的积分等于区间上，的积分乘以，感觉这个和积分中值定理是一回事 证明 Misplaced &&\int_a^bf(x)g(x)dx \\ &= \int_a^bf(a+b-x)g(a+b-x)dx \\ &= \int_a^bf(x)g(a+b-x)dx \\ &=\quad\frac{1}{2}\left(\int_a^bf(x)g(x)dx+\int_a^bf(x)g(a+b-x)dx\right) \\ &=\quad\frac12\int_a^bf(x)[g(x)+g(a+b-x)]dx \\ &=\quad\frac m2\int_a^bf(x)dx \end{aligned}$$ 特别的，在$g(x)=x$时，这个公式就是 $$\int_a^bxf(x)dx=\frac{{a+b}}{2}\int _{a}^{b}f(x) \, dx$$ ### 例题1 $$I=\int_2^4\frac{\sqrt{\ln(9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)+\sqrt{\ln(x+3)}}}$$ 本题是48届美国大学生数学竞赛(B-1)赛题，解答方法如下 令$f(x)=1,g(x)=\frac{\sqrt{\ln(9-x)}}{\sqrt{\ln(9-x)+\sqrt{\ln(x+3)}}}$，则有$f(x)=f(6-x)=1,g(x)+g(6-x)= \frac{\sqrt{\ln(9-x)}+\sqrt{\ln(x+3)}}{\sqrt{\ln(9-x)+\sqrt{\ln(x+3)}}}=1$ 所以$I=\frac12\int_2^4dx=1$ ### 例题2 $$I=\int_{-1}^1\frac{dx}{(e^x+1)(x^2+1)}$$ 本题是前苏联奥林匹克数学竞赛试题，解答方法如下 令$f(x)=\frac1{x^2+1},g(x)=\frac1{e^x+1}$，所以$f(x)=f(0-x),g(x)+g(0-x)=1$，所以 $$\begin{aligned}\text{I}&=\frac12\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2+1}=\frac12\arctan x|_{-1}^1\\&=\frac\pi4\end{aligned}$$