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三重积分的性质

Jun 19, 20252 min read

积分区域上上对1的积分，就是区域的体积

,其中 为 的体积.

三重积分可积必有界

要是没界就没办法封顶，那还怎么能是一个实心的固体的东西
设 在 上可积,则其在 上必有界.

三重积分也满足线性运算（被积函数部分）

系数可以组合，被积函数可以拆分
设 为常数,则

Missing or unrecognized delimiter for \right{{\iiint}}_{\Omega}\left\lbrack k_{1}f(x,y,z) {\pm} k_{2}g(x,y,z) \right\rbrackdv = k_{1}{{\iiint}}_{\Omega}f(x,y,z)dv {\pm} k_{2}{{\iiint}}_{\Omega}g(x,y,z)dv.

三重积分的积分区域可以拆分

设 在 上可积,且 ,则

被积函数的大小关系可以传递给三重积分（保号性）

设 在 上可积,且在 上 , 则有

特殊地, 有

通过被积函数的上下界估计三重积分的上下界(估值定理)

设 分别是 在 上的最大值和最小值, 为 的体积, 则有

被积函数乘体积直接得到三重积分的结果（中值定理）

设 在 上连续, 为 的体积,则在 上至少存在一点 ,使得

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