第三步：分解真分式
我们设
因此我们可以把真分式分解为四种基本类型的部分分式：
对于第3、4种部分分式，我们注有“
接下来，我们证明以上四种分式，特别是第2、4种分式，可以再进一步分解为更简单的、可积分的分式之和。
第一种分式
第一种分式
首先，对于分母为
的式子： 显然，
应是一个常数，因为如果它包含有一个 ，那么这个式子就不是个真分式（其实不会出现这种情况），就可以用分式除法继续化简为 的形式： Link to original
第二种分式
第二种分式
对于分母为
的式子： 同样，分子应当是一个常数。因为如果分子包含有
，就必定存在一个假分式因子，该假分式因子可以通过除式除法进一步化简： 现在，我们说一个真分式：
它可以进一步化简为以下几个分式之和：
因为它是一个真分式，所以
中的 的最高次幂必然是小于 的。我们上面已经讲了如果 的形式。我们来看 时： 无论
是多少次幂（小于 k）的多项式，都可以通过这种方式计算，从而分解为：
我们也可以使用“进制”的思想来理解这一点。不感兴趣的可以不看。
首先，一个有理真分数大于0小于1，即：
, , 为整数。它可以表示成一个小数。例如 。我们的问题就变成怎么把它表示成 ：
先拿
，变成：
，变成：
，变成：
因为这个真分数小于1，因此必然
位之前停下来。 我们把这个步骤重复在
中，我们可以把它看成 ，即它是 (x+a)进制的，小数点后 位上的数是 ：
我们使
，变成：
重复这个过程，如果
位上，值为 ：
这个过程最多可以再进行一步，并停止在
位置上。计算 ：
表示为十进制即：
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第三种分式
第三种分式
对于分母是
的式子： 显然
应该是一个一次多项式或常数，即 （ 可以为0，此时是一个常数）。 因为如果
中包含 或更高次幂的 ，那么它就不是一个真分式（其实不会出现这种情况），因此可以通过分式除法，对其进一步化简为 ，例如： Link to original
第四种分式
第四种分式
第四种分式：
同理，
应该一个一次多项式或常数，即 （ 可以为0，此时为常数的情况）。 因为如果
中包含 或更高次幂的 ，那么必然有个假分式因子，该假分式因子可以通过分式除法进一步化简： 接下来的叙述跟第二种分式中的是一样的，我们说一个真分式：
可以分解为以下分式之和：
它的证明跟第二种分式中的是一样的。我们这里不再赘述，两者的不同之处在于，在第二种分式中，
，根据分式除法，它的余式是一个常数，所以第二种分式分解后的所有分式分子是一个常数。但是在这里第四种分式中，因为分母是一个二次多项式 ，根据分式除法， ，它的余式是 ，这就是为什么这里所有分式分子形如 。
使用“进制”的思想，理解这一点，跟第二种分式中叙述的是一样的。不再赘述。
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分解出来的四种部分分式
到这里，我们可以确定，一个真分式可以化简为以下四种部分分式之和：
第一种分式
第二种分式
第三种分式
第四种分式Link to original
最终分解规则
分解出来的四种部分分式
到这里，我们可以确定，一个真分式可以化简为以下四种部分分式之和：
第一种分式
第二种分式
第三种分式
第四种分式Link to original 经过上面的讨论，我们可以知道，一个真分式经过因式分解之后：
一，如果包含有
这种因式，那么分解后有一个 的部分分式 二，如果包含有
这种因式，那么分解后有 三，如果包含有
这种因式，那么分解后有一个 的部分分式 四，如果包含有
这种因式，那么分解后有有一个 例如：
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