相似矩阵

如果这个矩阵可以做相似对角化，那这个矩阵肯定;;和自己的特征值矩阵是相似的

设 是两个 阶方阵,若存在 阶可逆矩阵 ,使得====，则称 相似于 ,记成

相似矩阵最重要的性质是传递性
一般来说我们直接证明A，B相似可能是比较困难的，因为这个可逆矩阵的分解，不一定自己能看得出来
那怎么办呢，常常我们对A做相似对角化，或者如何，首先证明A和一个简单的矩阵C是相似的
如果我们能证明到B也是和C是相似的,那么A和B也就是相似的

证明相似只有传递和定义两种方法

判断相似一般是用下面的性质，只要有一个合不上，那就不相似

相似矩阵的性质

Q:若 ,则
A:若(1), (2), (3), (5), (6)中至少有一个不成立, 则 不相似于 .
(1) .
(2) .
(3) .
(4) (或 ).
(5) .
(6) 的各阶主子式之和分别相等.
注意！第五个是重点
也就是特征值相同，并不能推出两者相似，这是显然的，因为特征值只能衡量拉伸的程度，可以拉伸不同向量，但是两者的尺度是相同的

对 3 阶矩阵来说, 若两个矩阵的特征值相同, 且相同特征值所对应的线性无关的特征向量的个数相同, 则它们相似. 但是对 4 阶或 4 阶以上的矩阵来说, 该命题并不成立.

相似矩阵可以推出

Q:相似矩阵的可逆、伴随、幂乘、转置、分块对角阵会继承相似吗？以及，矩阵多项式继承相似吗？
A:相似矩阵的可逆、幂乘、转置、分块对角阵仍相似
继承可逆
可逆都继承了，伴随作为逆的中间过程应该也继承
继承幂乘
继承转置
，矩阵多项式也继承
分块对角阵继承相似
若 ,则 .

Q:矩阵A相似于K倍单位矩阵，那么
A:A=kE