YiNotes

曲线与曲面积分公式整理

Jun 19, 20254 min read

第一类曲线积分(对弧长的积分)

意义

  1. 当时，表示曲线的长度
  2. 表示线密度为的曲线质量

公式1

公式2

若则

第二类曲线积分(对坐标的积分)

意义

  1. 沿运动的变力做的功

公式3
若，则

公式4

其中与是在处的切向量相对于轴和轴的方向余弦

格林公式

公式5

其中是单连通区域的正向边界

公式6

其中是复连通区域外部正向边界，小写)是复连通区域内部正向边界(假设内只有一个“洞”)

公式7

平面上曲线积分与路径无关的充要条件

为某个函数的全微分的充要条件

公式8

全微分方程求解

第一类曲面积分(对面积的积分)

意义

  1. 当，时，表示曲面的面积
  2. 表示面密度为的曲面质量

公式9

第二类曲面积分(对坐标的积分)

意义

  1. 单位时间内速度场经过曲面一侧的流量

公式10

对于其它情况，只需把和替换掉即可

公式11

其中，是曲面在处法向量对于 ,轴的方向余弦

高斯公式

公式12

其中是围成闭区域的曲面的外侧

公式13

曲面积分与曲面无关的充要条件

斯托克斯公式

公式14

公式15

空间曲线积分与路径无关的充要条件

物理量

质心(重心)

与同理

转动惯量

与同理
其中原点的转动惯量如下

万有引力

向量微分算子

三维同理

梯度(grad)

通量

设向量场，是点处的法向量，则通量为

散度

环流量

设向量场 ,是点处的单位切向量，则环流量为

旋度(rot)

Misplaced &\operatorname{rot}(f)& =(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\vec{i}+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\vec{j}+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\vec{k} \\ &=\nabla\times f \\ &=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix} \end{aligned}$$

Graph View

Backlinks

  • No backlinks found