题4.6

Q:设非齐次线性方程组为 ,则 ( )
(A) 当时,方程组有解
(B) 当时,方程组有唯一解
(C) 当时,方程组有唯一解
(D) 当时,方程组有无穷多解

A:24:33
对于这个题目我还是有疑问，为什么秩等行数的时候，可以说行向量是线性无关的
这是行秩等于列秩的问题，进而是秩定下来了以后，b的加入是否是原相关，延长也相关的那套描述
和题4.2放在一起看
首先，回顾一下关于非齐次线性方程组解的判定定理：

非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的秩等于增广矩阵 (A|b) 的秩，即。
当 Ax = b 有解时：
- 若未知数的个数 n，则方程组有唯一解；
- 若未知数的个数 n，则方程组有无穷多解。
  现在我们来分析题目中的各个选项：
  (A) 当时，方程组有解
这个选项是正确的！
表示系数矩阵 A 行满秩。这意味着 A 中每个方程都提供了新的约束条件。
由于且，所以必然导致，根据判定定理，方程组有解。
(B) 当时，方程组有唯一解
这个选项不正确！
表示系数矩阵 A 列满秩，此时我们只能确定只有零解。
但是，我们无法确定增广矩阵的秩。
- 例如： 考虑，此时，但，方程组无解。
  (C) 当时，方程组有唯一解
这个选项不正确！
仅表示系数矩阵 A 是一个方阵，无法确定 A 的秩和增广矩阵的秩关系。
- 例如： 考虑，此时，但 , ，方程组无解。
  (D) 当时，方程组有无穷多解
这个选项不正确！
仅表示系数矩阵 A 列不满秩，此时我们只能确定有非零解。
但是，我们无法确定方程组是否有解，因为无法确定增广矩阵的秩。
- 例如： 考虑，此时，但，方程组无解。

解应选 (A).
因时, 的行向量组线性无关,增广矩阵在的基础上增加一列,即行向量增加一个分量, 仍线性无关,故有 ,方程组有解,应选 (A).
选项 (B), 时也可能无解;
选项 (C),也可能无解或有无穷多解; 选项 (D),也可能无解,均排除.

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