题4.8

题4.8

题目

Q:设 是 阶实矩阵, 是 的转置矩阵. 证明: 方程组 (I) 和 (II) 是同解方程组.

分析

A:同解方程组的问题，在这个题里可以学到格拉姆矩阵的四秩相同是怎么证明的
证明 (1)若存在 ,使 ,则在两端左边乘 ,得 ,故方程组 (I) 的解必是方程组 (II) 的解.
(2)若存在 ,使 ,则在两端左边乘 ,得 .
因 是实矩阵,故 是实向量. 设 ,则 ,得 , ,故 ,从而知方程组 (II) 的解必是方程组 (I) 的解.
由(1), (2)知, 方程组 (I), (II) 是同解方程组.

解

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4.8

证明方程组是同解方程组，要证明它们的解集相同。
设 是方程组 的解，则有 ，所以 也是方程组 的解，方程组 的解集是 解集的子集。
对于 ，将其看作系数矩阵为 ，未知量为 的方程组，两边同时左乘 ，有 成立，该式左边是一个数，所以 ，所以 也是方程组 的解，方程组 的解集是 解集的子集。
综上，方程组 (I) 和 (II) 是同解方程组.