题6.12

题6.12

题目

Q:设实二次型 ,其中 是实对称矩阵，则 为正定二次型的充要条件是 ( ) .
(A) 是正定矩阵
(B) 是正定矩阵
(C) 的负惯性指数为零
(D) 存在 阶实矩阵 ,使得

分析

A:首先对于D选项，肯定是需要C是可逆矩阵

解

解 应选 (B).
因 正定,且 为实对称矩阵,有 ,且 的特征值 . 两边求逆,得 ,所以 是实对称矩阵,且其特征值 ,故 是正定矩阵.
反之,因 正定,故 ,且 的特征值 . 两边求逆,得 ,所以 为实对称矩阵,且 的特征值 ,故 是正定矩阵.
综上, 正定 正定,应选 (B).
选项 (A), 正定是 正定的必要条件,但不充分,如

是正定矩阵,但 不是正定矩阵,故 (A) 不成立;
选项 (C), 的负惯性指数为零,但正惯性指数 不一定为 ,即可能 ,故 (C) 不成立;
选项 (D), 正定 存在 阶实可逆矩阵 ,使 ,但 (D) 中没有要求 可逆,故 (D) 不成立. 例如取

此时,

不正定.