题3.1

题3.1

题目

Q:设 . 若向量组 可由 线性表示,则 的取值范围是 ( ).
(A)
(B)
(C)
(D)

分析

A:向量组A能够被向量组B线性表示 A中的每个向量都能被向量组B线性表示。
反过来，若向量组A中有一个向量不能被向量组B线性表示，则向量组A不能被向量组B线性表示。


, , 判断是否向量组 可由 线性表示，也就是判断 是否有解，可以使用矩阵的秩来判断：

1. , ,
2. , ,
3. 且 , ,

解

思路1：可以直接用等价命题，来把两个矩阵表示出来，然后判断

对增广矩阵 进行初等行变换：

① 当 时，
, 可由 线性表示
② 当 时，且 时，
, 可由 线性表示
思路2：或者先判断系数矩阵的秩的情况
若向量组 可由 线性表示,可知 可由 线性表示,所以方程组 有解,其系数行列式

当 ,即 时, 可由 线性表示（有唯一解）
当 时,有 ,可知 仍可由 线性表示;（有解）
当 时,对增广矩阵 作初等行变换:

可知 ,此时 不能由 线性表示.