题116

题116

题目

A 为 m×n 矩阵，B 为 n×m 矩阵，已知任意 m 维列向量为是方程组ABx=0 的解向量，任意非零 2m 维列向量都不是方程组 的解向量。
已知 a 是 Ax=0 的非零解向量，则以下证确的命题有

1. 2m≤n
2. 方程组 BAx=0 有 n-m 个线性无关解向量。
3. 若 2m=n，则 有唯一解。
4. 方程组 BAx=0 与 Ax=0 同解。

分析

考察了这些知识点：

1. 设任意维列向量（针对的描述）是方程组的解向量，则;;

2. 设任意非零维列向量都不是方程组的解向量，则;;，也就是说是列满秩的

3. 若，则列向量;;线性无关，同时，A的列向量的任意子集，也就是任意一部分，也是线性无关的

4. 若，则;;（指和相邻下标）。

5. 若与同解，则;;。

6. 齐次线性方程组中，若，则;;;矩阵的秩和只有零解。

7. 若，则的列向量是;;;的解向量。

8. 若;;不一定有唯一解，也就是说是列满秩不一定能推出方程组有唯一解，因为还没有确定增广矩阵的秩

9. 要确定非齐次线性方程组有唯一解，首先要保证;;;方程组有解，即系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，且等于列数

解

是乘矩阵, 是乘矩阵, 又已知任意的维列向量, 都是这个方程组的解向量, 而任意的非的维列向量, 都不是这个方程组的解向量, 还知道了是这个方程组的非零解向量, 问以下四个命题哪一些是正确的, 这个题考察的知识点比较多。

• 证明命题1：
  • 任意维向量都是方程组的解
  • , , …, 都是方程组的解
  \begin{bmatrix}
  1 & & \
  & \ddots & \
  & & 1
  \end{bmatrix}=0$$
  • ，也就是
  • 任意2m维列向量（非空）不是方程组的解，所以方程组只有零解，也就是是它的列数
  • 矩阵的秩等于
    • 矩阵的秩等于
    • 矩阵是列满秩，矩阵的秩也是满秩，等于
  • 的秩加的秩小于等于
• 证明命题2：方程组有个线性无关解向量
  • 研究方程组的基础解系
  • 方程组与同解
  • 方程组的基础解系含有个解向量
  • 
• 证明命题3：若，则有唯一解
  • 的所有列向量都是方程组的解向量
  • 方程组的基础解系含有个线性无关的解向量
  • 当时，方程组的基础解系含有个线性无关的解向量
    • 矩阵的所有列向量是方程组的一个基础解系
      • 是的解，可以由线性表示
  • 方程组有解
  • 矩阵是列满秩
  • 方程组有唯一解
• 证明命题4：方程组与同解
  • 假设是方程组的解
  • 是方程组的解
  • 假设是方程组的解
  • 矩阵是列满秩
  • 方程组只有零解
  • 是方程组的解
  • 方程组与同解