题7

题7

题目

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设非负函数在上连续,给定以下三个命题:
(1)若收敛,则收敛;
(2)若存在,使极限存在,则收敛;
(3)若收敛,则存在,使极限存在;
其中正确的个数是( )
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3

分析

[!NOTE]+
邂逅遗憾强调的重点，我觉得本质上就是比较判别法-无穷区间上反常积分

解

[!done]-
无穷限反常积分的极限审敛法 设函数 在区间 上连续, , 并且存在常数 , 使得 .

(1) 若 , , 则反常积分 收敛;

(2) 若 , , 则反常积分 发散.

解 依次分析各命题.

对命题①, 考虑 , 则该函数在 上连续非负, ,

但是,

因此, 命题①不正确.

对命题②, 若存在 , 使得 存在, 则由无穷限反常积分的极限审敛法可得 收敛. 因此, 命题②正确.

对命题③, 考虑 , 则该函数在 上连续非负,

但对任意 , 都有

因此, 命题③不正确.

综上所述, 正确命题的个数为 1, 应选 B.

注 解析中的“”是因为