题5

题5

题目

[!error]+
已知函数，则在点处( )。
(A) 连续，可微
(B) 连续，不可微
(C) 不连续，可微
(D) 不连续，不可微

分析

[!NOTE]+
这个题目又忘了，多元函数连续可偏导可微之间的关系,多元函数可微的充分条件，我们用除以的那个定义来判定，或者确定两个偏导函数存在，同时本身是连续的，另一方面，我们求偏导数在某点的值，尽量用定义，求偏导函数，可以在合理的定义域里面直接导出来看看：例13.17，例13.12，核心我们看这个题目：例13.7，多元函数的连续性我们通过多元函数的极限，也就是累次极限来判定

解

[!done]-
注意到 是分段函数，需分别计算 时的 与 时的 。

另一方面，考察 在点 处是否可微，可根据可微的定义考察极限

若该极限存在且等于 0，则 在点 处可微。

当 时, 根据偏导数的定义,

同理可得 , 即 . 特别地, .

当 时, 由链式法则可得

取 , 则 , 而

从而

由此可得, 不存在. 进一步可得 在点 处不连续.

另一方面,

当 时, , 故

当 时, . 进一步由 以及夹逼准则可得

, 从而 . 于是, 由可微的定义可知, 在点 处可微.

综上所述, 应选 C.