题4

题4

题目

[!question]+
已知数列，若发散，则( )。
(A) 发散
(B) 发散
(C) 发散
(D) 发散

分析

[!NOTE]+
复合函数与数列收敛的题目，核心在于考虑复合函数的单调性和自变量数列之间的对应关系

解

[!done]-
若数列 收敛到 ，且 连续，则数列 收敛到 。

解：考虑函数 ，则 ，故 是在 上单调增加的连续函数，从而存在反函数 ， 也是在 上单调增加的连续函数。

记 ，即 ，于是，。

若 收敛，即存在 ，使得 ，则

由此可得， 存在。但这与 发散矛盾。

因此， 发散，即 发散，应选 D。

下面说明选项 A、B、C 均不正确。

对选项 A，取 ，则 发散，但 ， 收敛。

对选项 B、C，取 ，则 发散，但 ，，， 均收敛。