题22
题目
[!question]+
设矩阵,二次型
已知方程组的解是的解,但两个方程组不同解。
(1) 求的值,
(2)求正交矩阵将化为标准形
分析
[!NOTE]+
实对称矩阵+秩1矩阵，除了做施密特正交化，还可以用向量正交化叉乘来快速算，，这种情况的，同解方程组和等价向量组，或者AB=0这种形式的，可以多站在，谁的解空间更大，然后得到他们之间矩阵的秩的不等式，另外实对称矩阵和特征值之间的关系，同时如果它还是秩1矩阵的话，特征值之间的关系就更加特殊了
解
[!done]-
第 (I) 问中,方程组 的解均是 的解,但这两个方程组不同解这一条件说明 ,结合 的具体表达式可知 . 由此可解得 ,进一步将 的解代入 可解得 .
或者,由方程组 的解均是 的解这一条件得到方程组 与 同解 (见注),从而 . 对 作初等行变换也可以确定 .
由于二次型在正交变换下的标准形的系数即二次型对应的对称矩阵的特征值，故第(II)问实际上是要求将正交相似对角化。
解(I) (法一) 由于有2阶非零子式，且为矩阵，故，的基础解系中有个解向量。又因为的解均是的解，但这两个方程组不同解，所以的基础解系中至少有两个解向量，从而。结合为非零矩阵可知，于是。
由于
故由可得。
设为的解，令，可得为的一个基础解系。将其代入，即可得，，解得。
因此，。
(法二) 由于方程组的解均是的解，故方程组与同解(见注)。由此可得。又因为有2阶非零子式，且为矩阵，所以，从而。
对作初等行变换。
由于，故，即。
(II) 由第(I)问可得，，则。
由于是一个实对称矩阵，且秩为1，迹为6，故相似于秩为1，迹为6的对角矩阵，特征值为6, 0, 0。
分别计算的属于特征值6和0的特征向量。
考虑。
为的属于特征值6的一个线性无关的特征向量。
考虑。
和为的属于特征值0的两个线性无关的特征向量。
将单位正交化。由于已经与正交，故只需将正交化。
令
则为正交矩阵，正交变换将化为标准形。
注：下面我们证明方程组与同解等价于方程组的解均是的解。
证明：记方程组的解集为，的解集为，方程组的解集为，则。
若方程组的解均是的解，则，从而，即，也即方程组与同解。
若方程组与同解，则，即。由此可得，即方程组的解均是的解。