题21

题21

题目

[!question]+
设函数具有 2 阶导数,且。
证明:
(1)当时,
(2)

分析

[!NOTE]+
加减之前先给泰勒公式凑配题目的系数，然后再考虑加减的事情，不要直接加减来做变形，我这里就是先就直接加减变形了

解

[!done]-
第 (I) 问的证明，可以考虑分别对 在 与 处展开，利用泰勒公式构造不等式，也可以考虑构造辅助函数，例如令 以及 ，并证明 。

第 (II) 问的结论可以通过对第 (I) 问所得不等式积分得到。

证 (I) (法一) 分别写出 在 与 处的一阶泰勒公式。

其中 介于 0 与 之间， 介于 1 与 之间。

(2) 式 式 ，并结合 可得

由 (3) 式可得，当 时，

由于 ，故结合 以及 (4) 式可得

(法二) 所证命题等价于当 时，

令 ，则 ，且 。由于 ，故 。下面证明当 时，。

若存在 ，使得 ，则分别对 上的 使用拉格朗日中值定理

可得，存在 ，使得

再对 上的 使用拉格朗日中值定理可得，存在 ，使得

这与 矛盾。

因此，当 时，，即 。

令 ，同理可得 ，且进一步可得当 时，，即 。

综上所述，所证命题成立。

(II) 由第 (I) 问可得

对 (5) 式两端从 0 到 1 积分可得，

进一步由定积分的性质可得