题20

题20

题目

[!question]+
设具有二阶连续偏导,,且
(1) 求
(2)若,且,求的表达式

分析

[!NOTE]+
这种多元函数积分学变换的题目真题考过很多遍了，感觉偏积分，现在更熟练一点了

解

[!done]-
是一个复合函数,可以利用链式法则求得 的偏导数,代入题设方程后得到 的信息. 在求得 后,可以通过积分以及代入条件得到 的表达式.

解 (I) 根据链式法则,并结合 具有 2 阶连续偏导数,从而 可得

将上述结果代入 可得

整理可得 ,即 .

(II) 对 关于 积分可得,

其中 是关于 的一元函数.

由于 ,故在 中令 可得 . 于是, .

对 关于 积分可得,

其中 是关于 的一元函数.

由于 ,故在 中令 可得, ,即 .

因此, .