题18

题18

题目

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设满足方程,且
(1)利用变换化简方程,并求的表达式
(2)求

分析

[!NOTE]+
对于链式法则理解得非常差，对于微分的运算法则理解得也非常差，第二问还总是因为笔误算错

解

[!done]-
使用变量代换 后， 变为 。这是一个关于 的函数，利用链式法则，可以将 ， 用 和 表示出来，从而将原方程变形。

解 (I) 令 ，则 ，

代入原方程可得 ，即 。这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。该方程的特征方程为 ，特征根为 。于是，该方程的通解为 。代入 可得 。进一步可得 。

由 ， 可得 ，解得 。因此，。

(II) 由第 (I) 问的结果可得 。

下面用两种方法计算 。

(法一) 令 ，则 。于是，

(法二) 令 ，则

因此，。

注：本题中的微分方程为欧拉方程（数学二考试大纲不要求会解欧拉方程）。第(I)问所要求的用变量代换将原方程改写实际上是欧拉方程的一般解法。

欧拉方程：形如 的方程（其中 为常数），叫做欧拉方程。

使用变量代换将微分方程转化为已知解法的类型再求解, 也是微分方程的一种重要解法.

下面总结一下历年真题中出现过的同类题.

【例】利用代换 将方程 化简,并求出原方程的通解. (1998 年数学二试题)

答案 原方程可化为 ,原方程的通解为 ,其中 为任意常数.

【例】用变量代换 化简微分方程 ,并求其满

足 的特解. (2005 年数学二试题)

答案 原方程可化为 ,所求特解为 .

【例】微分方程 满足条件 的解为. (2024 年数学一、二试题)

答案 .