题10

题10

题目

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设均为 2 阶矩阵,且,则 “有两个不相等的特征值” 是 “可对角化” 的 ()
(A) 充要条件
(B) 充分非必要条件
(C) 必要非充分条件
(D) 既非充分又非必要条件

分析

[!NOTE]+
又做错了，可交换矩阵AB=BA的性质核心在于反复使用特征值的定义

解

[!done]-
阶矩阵可相似对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.

解 设是的两个不同的特征值, 非零向量满足. 由于, 故线性无关. 进一步可得, .

(i) 若, 则是属于的一个特征向量. 又因为有两个不同的特征值且为2阶矩阵, 所以这两个特征值均只有一个线性无关的特征向量, 从而, 是属于特征值的一个特征向量.

(ii) 若, 则是属于特征值0的一个特征向量.

不论是哪种情况, 均为的两个线性无关的特征向量, 故能相似对角化. 因此, “有两个不相等的特征值”是“可对角化”的充分条件.

但是,“有两个不相等的特征值”不是“可对角化”的必要条件. 取, 则, 且是对角矩阵, 但是没有两个不同的特征值.

综上所述,“有两个不相等的特征值”是“可对角化”的充分不必要条件, 应选B.