题9

题9

题目

[!question]+
二次型 的规范形为 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
本质上是这个真题：题8，二次型的正负惯性指数之和应该等于其系数矩阵的秩

和这种大题其实一样的：题22

解

[!done]-
解 (法一) 将 展开可得

该二次型对应的矩阵为 .

计算可得

由于 ,故 有零特征值,从而 的正、负惯性指数之和不超过 2 .

若 的负惯性指数为 0,则 非负,即对任意 ,均有 . 但是, ,矛盾. 同理,若 的正惯性指数为 0,则 非正,即对任意 ,均有 . 但是, ,矛盾.

由于 的正、负惯性指数之和不超过 2,而正、负惯性指数又均大于 0,故其正、负惯性指数均为 1. 应选 B.

(法二) 记

记 ,则由 可知,

于是, 为二次型 对应的对称矩阵.

又因为 ,所以 ,从而 有零特征值.

其余同法一.

(法三) 令 则 ,且该变换为可逆线性变换. 在该变换下,二次型 化为

再令 该变换为可逆线性变换. 在该变换下,二次型 化为

因此, 的一个标准形为 ,其正、负惯性指数均为 1 . 应选 B.

注 本题的法二运用线性变换把二次型改写成了平方和的形式, 然而需要注意的是, 这个线性变换并不可逆, 故而这个平方和形式并不是原二次型的标准形.