题8

[!question]+
设为阶可逆矩阵, 为阶单位矩阵, 为矩阵的伴随矩阵,则
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

[!note]+
考察分块矩阵的广义初等变换，这种题目我们已经做了很多遍了：题2.9，题7，例3.17，注意关键是，分块矩阵做行加减只能左乘，做列加减，只能右乘

[!done]-
我们可以考虑利用来计算 .

注意到为分块上三角矩阵,行列式为 ,故我们也可以利用

来排除错误选项.

(解) (法一) 由于都可逆,故可以作初等行变换来求 .

其中操作 ① 对应左乘可逆矩阵 ,操作 ② 对应左乘可逆矩阵 . 于是,

对于任意阶方阵 ,都有 ,从而当可逆时, . 又因为

,所以

因此,应选 D.

也可以如下计算 .

设 ,则

于是, 由均为可逆矩阵可得 ,从而

(法二) 分别记选项 $、、、$ 中的矩阵为 ,记 . 考虑 , . 若 ,则 .

观察可得与的 “第一列” 均为 ,故

选项 $、$ 均不正确.

又因为

所以选项不正确,选项正确. 应选 .

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