题20

题20

题目

[!question]+
设平面有界区域位于第一象限，由曲线，与直线，围成，计算.

分析

[!NOTE]+
三角函数的积分我们要注意把和凑在一起看看，尤其是对于看起来似乎可以做齐次化的式子

这个题我们也做过：题14.9，强化中也有：例14.17

解

[!done]-
解 在极坐标系下计算.

由 可知,曲线 的极坐标方程分别为

即 . 直线 的极坐标方程为 . 于是,区域 在极坐标系下的表示为

因此,

注 ① 由 可知,二次型 的正惯性指数为

2,曲线 与 均为椭圆.

进一步,令 即 则

于是, 与 的长轴方向为 对应方向,短轴方向为 对应方向.

区域 如图所示.

② 也有同学利用二重积分换元法解本题, 但二重积分换元法并不在考试大纲内, 故下面的解法仅供感兴趣的同学参考.

令 则区域 在该变换下化为 .

由该变换解得 直接计算 较复杂,我们可以先计算 .

由此可得 . 为了下面的计算方便,此处我们暂时不把 换成 的表达式. 因此,