题16

题16

题目

[!question]+
(16) 已知线性方程组 有解,其中 为常数. 若 ,则

分析

[!NOTE]+
我们直接解方程，建立两个关于a和b的方程就可以解出来了。如果矩阵不是方阵，记得考虑它行秩=列秩=小的那个，然后可能和别的部分拼起来变成了方阵，所以我们就可以直接解行列式了

解

[!done]-
解 (法一) 记方程组 的系数矩阵为 ,增广矩阵为 ,则

由方程组有解可知 . 因为 为 矩阵,所以 ,从而 , 进一步可得 . 于是,

因此, .

(法二) 记方程组 的系数矩阵为 ，增广矩阵为 。由方程组有解可知 。

注意到 为 的一个 3 阶子式。若该子式不为0，则 。又因为 为 矩阵，所以 ，从而 。

由 可得，。于是 ，该方程组有唯一解。

考虑方程组 ，和方程组 。由原方程组有唯一解可知方程组 I 和方程组 II 有唯一公共解。

由于方程组 的系数矩阵行列式等于 ，故若，由克拉默法则知其仅有唯一解，进一步可得其增广矩阵的秩为 3，行向量组线性无关。由此可知方程组 II 的增广矩阵 的前两行线性无关。又因为该增广矩阵的第三行为 ，最后一个元素非零，所以第三行与前两行线性无关。于是，方程组 II 的增广矩阵的秩为 3。由方程组 II 有解可知，其系数矩阵的秩也为 3，从而行列式非零。

记该公共解为 ，，。

对方程组 I 使用克拉默法则可得 ，对方程组 II 使用克拉默法则可得 。由此可得

若 ，则 。但将 代入 所得行列式并不等于 4，故 。因此，由 (1) 式可得 ，即 。

(注) 本题也可以通过 解得 或 。再利用 得到，当 时，，当 时，。将这两种情况代入 均可得到所求行列式等于 8。

但这种解法的计算量较大，就不在这里具体写出，感兴趣的同学可以自己计算一下。我们解题时还是应该根据题目条件的特点，选择比较合适的方法计算。