题9

题9

题目

[!question]+
设矩阵 ,则线性方程组 的解的情况为 ( )
(A) 无解.
(B) 有解.
(C) 有无穷多解或无解.
(D) 有唯一解或无解.

分析

[!NOTE]+
本题的方程组的系数矩阵带参数，故需要分情况讨论。但若注意到系数矩阵行列式与范德蒙德行列式有关，则有一种情况实际上是很好判断的

解

[!done]-
范德蒙德行列式 形如 的 阶行列式被称为范德蒙德行列式，

。不难发现，若存在 ，则 ，否则 。

解 (法一) 注意到

当 ，且 时，。由克拉默法则可知，此时方程组 有唯一解。当 时，

。

，方程组无解。同理可得，当 时，，方程组无解。当 时，

。

，方程组无解。

综上所述，方程组 的解的情况只有两种可能，有唯一解或无解。应选 D。

(法二) 直接对增广矩阵 作初等行变换。

。

当 时，，方程组无解。

当 或 时，，方程组无解。

当 ，但均不等于 1 时，，方程组无解。

当 ，且 时，。方程组有唯一解。

综上所述，方程组 的解的情况只有两种可能，有唯一解或无解。应选 D。