题8

题8

题目

[!question]+
设 为 3 阶矩阵, ,则 的特征值为 的充分必要条件是 ( )
(A) 存在可逆矩阵 ,使得 .
(B) 存在可逆矩阵 ,使得 .
(C) 存在正交矩阵 ,使得 .
(D) 存在可逆矩阵 ,使得 .

分析

[!NOTE]+
相似对角化的充要条件，注意矩阵A和对角矩阵，做矩阵相似的充分条件和充要条件：

充分条件	充分必要条件
有 个不同的特征值	有 个线性无关的特征向量
为实对称矩阵

解

[!done]-
(解) 3 阶矩阵 的特征值为 意味着 有 3 个不同的特征值，从而 相似于与它具有相同特征值的对角矩阵，即 。于是， 的特征值为 的充分必要条件即 与 相似的充分必要条件。

选项 B 实际上为 与 相似的定义，即存在可逆矩阵 ，使得 ，也即 。因此，应选 B。

下面说明选项 A、C、D 不正确。

选项 A 是 与 等价的定义。若两矩阵相似，则它们必等价，但两个等价的矩阵不一定相似，例如 和 ，故选项 A 是 与 相似的必要不充分条件。

因为正交矩阵也是可逆矩阵，所以选项 C 是 与 相似的充分条件。但选项 C 并不是 与 相似的必要条件，因为 不一定能找到一组相互正交的特征向量，这一要求对实对称矩阵成立，对一般矩阵不成立。

取 ，，，则 ，， 相互均不正交。令 ，，则

与对角矩阵 相似，但是 的线性无关的特征向量均不正交。

选项 D 是 与 合同的定义。对一般矩阵而言，相似与合同之间并无相互蕴含的关系。

考虑选项 A 的反例 和 ，这两个矩阵具有相同的正、负惯性指数，从而合同，但它们并不相似。

考虑选项 C 的反例 ，。由前面的分析可知， 与 相似。

又因为 是实对称矩阵，而与实对称矩阵合同的矩阵一定是实对称矩阵，但 不是实对称矩阵，所以 与 不合同。

因此，选项 D 既不是 与 相似的充分条件，也不是 与 相似的必要条件。