题5

题5

题目

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设 为常数,若反常积分 收敛,则 的取值范围是 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
反常积分判敛散性还是不熟悉，还要加强训练

解

[!done]-
本题中的反常积分为瑕积分,有两个点需要考虑, .

无界函数的极限审敛法 设函数 在区间 上连续, ,并且存在常数 ,使得 .

(1) 若 ,则反常积分 收敛;

(2) 若 ,则反常积分 发散.

解 由于 和 均为可能的瑕点,故将积分拆成两部分.

先考虑 .

当 时, 不是瑕点, 为常义积分.

当 时,取 ,使得 ,从而

由无界函数的极限审敛法可知, 收敛.

当 时,

于是,当 时, 发散.

因此,当 时, 收敛,当 时, 发散.

再考虑 .

于是,当 时, 不是瑕点, 为常义积分.

当 ,即 时,

由无界函数的极限审敛法可知, 收敛.

当 ,即 时,同理可得 ,从而由无界函数的极限审敛法可知, 发散.

因此,当 时, 收敛,当 时, 发散.

综上所述, 收敛当且仅当 . 应选 A.