题9

题9

题目

[!question]+
设 3 阶矩阵 ,若向量组 可由向量组 线性表示, 则 ( )
(A) 的解均为 的解.
(B) 的解均为 的解.
(C) 的解均为 的解.
(D) 的解均为 的解.

分析

[!NOTE]+
向量组的乘法，AB=0这种可以站在正交的角度看问题

解

[!done]-
若矩阵 有 行,则将 写成行分块的形式 ,从而 等价于 . 方程组 的解与 的行向量均正交.

(解) (法一) 由已知条件可知 的列向量组可由 的列向量组线性表示,故 的行向量组可由 的行向量组线性表示. 若 为 的解,则 与 的行向量均正交,从而与 的行向量均正交. 根据分析中的结论,可得 .

因此, 的解均为 的解. 应选 D.

(法二) 由于向量组 可由向量组 线性表示,故存在矩阵 ,使得 .

由 可得 . 于是,若 ,则 ,即 的解均为 的解.

因此,应选 D.