题8

题8

题目

[!error]+
二次型 的正惯性指数与负惯性指数依次为( )
(A) 2,0 .
(B) 1,1 .
(C) 2,1 .
(D) 1,2 .

分析

[!NOTE]+
怎么算惯性指数，这个题目很关键！我还不是很会，另外二次型的配方法这里，到底是怎么配的，我也不熟悉，另一个问题是，为什么题目直接给的这种三个东西平方，默认不是标准形，是要用什么可逆的原则判定系数矩阵吗，我记得有一年真题考过

解

[!done]-
惯性定理 设二次型 的秩为 ，且有两个可逆变换 及 ，使

及

则 中正数的个数与 中正数的个数相等.

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数, 负系数的个数称为负惯性指数.

二次型通过可逆线性变换可化为标准形, 在此过程中, 二次型的正、负惯性指数不变.

(解) (法一) 令 ，则 ，且该变换为可逆线性变换. 在该变换下, 二次型 化为

再令 ，则 化为

因此, 的一个标准形为 , 其正、负惯性指数分别为 1, 1. 应选 B.

(法二) 将 展开可得

该二次型对应的矩阵为 . 不难发现, 的第二行为第一行与第三行的和, 故 . 又因为 有一个 2 阶非零子式 , 所以 . 于是, .

由于二次型的正、负惯性指数之和等于其对应矩阵的秩, 而选项 C、D 的两数之和均为 3, 故可排除选项 C、D.

另一方面, 若 的负惯性指数为 0, 则 非负, 即对任意 , 均有 . 但是, , 矛盾. 因此, 选项 A 不正确.

根据排除法, 应选 B.