题4

题4

题目

[!question]+
设函数 有 2 个零点,则 的取值范围是 ( )
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
这里也是粗心的问题导致算错了，问的是b/a，我算的是a/b

解

[!done]-
可以由 的表达式分析 的单调性,从而得到 有 2 个零点需要满足的条件,最后确定 的取值范围; 也可以将 的零点问题先转化为曲线的交点问题,再讨论 的取值范围.

(解) (法一) 的定义域为 . 计算 得 . 由于 ,故若 , 则 单调增加. 此时 不可能有 2 个零点. 于是, .

下面分析 的单调性.

当 时, ; 当 时, 单调减少; 当 时, ,

单调增加. 于是, 在 上先单调减少,再单调增加. 为 的最小值.

有 2 个零点等价于 小于零. 否则 恒大于等于零,不可能存在 2 个零点.

又因为 ,所以 等价于 ,即 .

因此,应选 A.

(法二) 同法一可知 .

等价于 ,故函数 有 2 个零点等价于曲线 与直线 有 2 个交点.

计算 的导数 .

由于 是 的无穷间断点,故 是 的铅直渐近线. 当 时, , 单调减少; 当 时, 单调减少; 当 时, 单调增加,且

是 的极小值点,极小值为 .

的图形如右图所示.

由图可知,曲线 与直线 有 2 个交点当且仅当 . 因此,应选 A.

注 ① 实际上, 与 均为 .

因此, 与 在 时为同阶无穷大量, .

② 法二中,也可以令 ,讨论曲线 与直线 有 2 个交点时的 的取值范围.