题22

题22

题目

[!question]+
设矩阵 仅有两个不同的特征值,若 相似于对角矩阵,求 的值,并求可逆矩阵 ,使 为对角矩阵.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
解 计算 的特征多项式.

的所有特征值为 .

若 仅有两个不同的特征值,则 只可能为 1 或者 3 .

下面分情况讨论.

(1) 若 ,则 的特征值为 .

计算 的属于特征值 1 的特征向量. 考虑 .

若 可相似对角化,则方程组 有两个线性无关的解. . 于是, .

解方程组 可得 与 为该方程组的一个基础解系,即 与 为 的属于特征值 1 的两个线性无关的特征向量.

计算 的属于特征值 3 的特征向量. 考虑 .

解方程组 可得 为该方程组的一个基础解系,即 为 的属于特征值 3 的一个特征向量.

令 ,则 为对角矩阵.

(2) 若 ,则 的特征值为 .

计算 的属于特征值 3 的特征向量. 考虑 .

若 可相似对角化,则方程组 有两个线性无关的解. . 于是, .

解方程组 可得 与 为该方程组的一个基础解系,即 与 为 的属于

特征值 3 的两个线性无关的特征向量.

计算 的属于特征值 1 的特征向量. 考虑 .

解方程组 可得 为该方程组的一个基础解系,即 为 的属于特征值 1

的一个特征向量.

令 ,则 为对角矩阵.