题20

题20

题目

[!question]+
设函数 满足微分方程 ,且满足 .
(I) 求 ;
(II) 为曲线 上的一点,曲线 在点 的法线在 轴上截距为 ,为使 最小,求 的坐标.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
解 (I) 整理 得, .

由求解公式, 可得

代入 ,可得 ,即 . 解得 .

因此, .

(II) 根据导数的几何意义,曲线 上的点 处的切线斜率为 . 由同一点处的切线与法线相互垂直,斜率乘积为 -1 可得点 处的法线斜率为 . 于是,点 处的法线方程为

令 ,可得 ,即 .

计算 .

令 ,可得 .

当 时, 单调减少; 当 时, 单调增加. 故 为 在 上的最小值. .

因此,当 时, 有最小值 .