题16
题目
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Q:多项式 中 项的系数为
分析
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A:行列式的逆序数定义来算这种行列式里面有x的系数的问题，本质上是，行列式取自不同行列的元素的乘积，然后乘积有一个逆序数的配重为系数
解
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(1) 逆序数 个不同元素排成一列,称为这 个元素的排列. 一般地,规定由小到大为标准次序. 在 个元素的任一排列中,当某一对元素的先后次序与标准次序不同时,称为构成一个逆序. 一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.
（2）排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列叫做奇排列, 逆序数为偶数的排列叫做偶排列.
一个排列中的任意两个元素对换, 排列改变奇偶性.
(3) 阶行列式 ,简记作 ,其中 为行列式 的 元.
阶行列式的值是所有取自不同行不同列的 个元素的乘积 的代数和,这里 是 的一个排列. 当 是偶排列时,该项的前面带正号; 当 是奇排列时, 该项的前面带负号, 即
这里 表示对所有 阶排列求和. 上式称为 阶行列式的完全展开式.
解 由于所给行列式的元素均为常数或 的倍数,故根据行列式的定义,要出现 项,必须从不同行、不同列中取出 3 个含 的项相乘.
将行列式记为 .
① 不能取. 若取 ,则第一行中的 与 不能取. 于是,剩下的 2 个含 的元素必来自主对角线上的 3 个 . 无论从 中取哪两个,第四个元素都只能来自主对角线,从而这种取法最终将得到 ,而不是 .
② 由于 项必来自于不同列的含 元素的乘积,故确定 不取后, 必来自后三列,而第三列中仅 ,从而必取.
下面分情况讨论.
(1) 若第二列中取 ,则组合应为 . 该组合对应排列 ,逆序数为 1 . 于是,所得 项为 .
(2) 若第二列中取 ,则组合应为 . 该组合对应排列 ,逆序数为 5 . 于是,所得 项为 .
因此, 的 项为 的系数为 -5 .