题4

题4

题目

[!question]+
已知函数 . 当 时,
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
积的高阶导数这里我记错了公式，应该是后面的v先从0开始到n阶导，我记忆的是前面的u在线从0开始，记错了。突然发觉，好像不是很影响。

解

[!done]-
分析 本题主要考查高阶导数的计算.

是 与 的乘积,故可以考虑使用莱布尼茨公式来计算它的高阶导数. 计算 的高阶导数时,可采用逐次求导的方法.

如果知道 的麦克劳林级数或者 处的 阶泰勒公式,那么也可以利用 的系数来确定 .

(解 (法一) 记 ,则 ,从而可以用莱布尼茨公式来计算 的高阶导数.

由于

而 ,故

下面利用逐次求导的方法计算 在 处的的 阶导数.

由数学归纳法可知, . 于是, .

令 ,可得 .

代入(1) 式可得,

因此,应选 A.

(法二) 由于 的麦克劳林级数为 ,故 的麦克劳林级数为 - 的系数为 . 又因为 的麦克劳林级数中, 的系数为 ,所以 因此,应选 A.

注 本题使用泰勒级数或者高阶泰勒公式的解法是比较快的. 但由于数二大纲不包含级数, 数二同学可能对于高阶泰勒公式相对陌生, 故我们将这种方法放在法二. 请大家一定要掌握好利用莱布尼茨公式和逐项求导的方法.