题23

题23

题目

[!question]+
设 为 2 阶矩阵, ,其中 是非零向量且不是 的特征向量.
( I ) 证明 为可逆矩阵;
(II) 若 ,求 ,并判断 是否相似于对角矩阵.

分析

[!NOTE]+
记得特征多项式可以往已知式子里面多带入看看，这里就是没想到代入，这里特征多项式里面的E当做带入特征值后的数字，还是数字本身是数字？

解

[!done]-
第 (I) 问要证明 为可逆矩阵,可转化为证明 的列向量组线性无关.

第 (II) 问给出了一个矩阵等式,可利用该等式将 表示出来,再计算 .

解 (I) 要证明 为可逆矩阵,可证明 线性无关.

假设 线性相关,则存在不全为零的常数 ,使得 .

若 ,则 . 但 为非零向量,故 . 这与假设矛盾.

若 ,则 . 由特征向量的定义可知 为 的特征向量. 这与 不是 的特征向量矛盾.

因此, 线性无关. 为可逆矩阵.

( II ) 考虑 .

由第 问可知, 可逆. 上式两端同时左乘 可得 .

记 ,则 与 相似. 与对角矩阵相似等价于 与对角矩阵相似.

计算 的特征多项式.

2 与 -3 是 的两个不同特征值. 于是, 相似于对角矩阵 . 由相似关系的传递性可知, 相似于对角矩阵 .