题21

题21

题目

[!question]+
设函数 可导,且 . 曲线 经过坐标原点 ,其上任意一点 处的切线与 轴交于 ,又 垂直 轴于点 . 已知由曲线 ,直线 以及 轴所围图形的面积与 的面积之比恒为 ,求满足上述条件的曲线的方程.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
解 点 如图所示.

计算 的面积.

曲线 上任意一点 处的切线方程为

令 ,可得点 的横坐标为 .

由于 过原点,且 ,故点 的纵坐标 , . 于是, .

由定积分的几何意义可得,曲边三角形 的面积 .

由曲边三角形 的面积与 的面积之比恒为 可知 ,即

对 (1) 式两端同时求导可得,

整理可得 ,即 .

这是一个可降阶微分方程. 令 ,则 . 原方程化为 ,即 . 分离变量可得 . 方程两端积分可得 为常数,这里不用加绝对值符号是因为由已知条件可得 . 由此可得 ,其中 为常数,即 .

由 过原点可知, . 代入 可知 . 由 和 无法确定 .

分离变量可得 . 方程两端积分可得 . 由 可得 . 从而 ,即 . 因此, . 由于 ,故 .

综上所述, ,其中 为任意正常数.