题23

题23

题目

[!question]+
已知矩阵 与 相似.
(I) 求
(II) 求可逆矩阵 ,使得

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
第 (I) 问要求 ,可利用相似的矩阵具有相同的迹与行列式这一性质.

由于 均不是对角矩阵,但易知它们均可相似对角化,故可分别计算它们的特征向量,将它们相似对角化,再计算 .

解 (I) 由于 相似,故它们的迹与行列式均相同.

由 有相同的迹可得 ,即 .

计算 为上三角矩阵,故易得 .

由 可得 ,即 .

联立 解得 .

(II) 由于 相似,故它们有相同的特征值.

计算 的特征多项式.

于是, 的特征值为 . 从而 的特征值也为 .

由于 具有 3 个不同的特征值 ,故存在可逆矩阵 ,使得

令 ,则 .

的列向量为 的属于特征值 的特征向量, 的列向量为 的属于特征值 , 的特征向量. 下面分别计算 的特征向量.

计算 的属于特征值 2 的特征向量. 考虑 .

于是, ,求得 为 的一个基础解系. 为 的属于特征值 2 的特征向量.

计算 的属于特征值 -1 的特征向量. 考虑 .

于是, ,求得 为 的一个基础解系. 为 的属于特征值 -1 的特征向量.

计算 的属于特征值 -2 的特征向量. 考虑 .

于是, ,求得 为 的一个基础解系. 为 的属于特征值 -2 的特征向量.

因此, 可取为 .

计算 的属于特征值 2 的特征向量. 考虑 .

于是, ,求得 为 的一个基础解系. 为 的属于特征值 2 的特征向量.

计算 的属于特征值 -1 的特征向量. 考虑 .

于是, ,求得 为 的一个基础解系. 为 的属于特征值 -1 的特征向量.

计算 的属于特征值 -2 的特征向量. 考虑 .

于是, ,求得 为 的一个基础解系. 为 的属于特征值 -2 的特征向量.

因此, 可取为 .

利用初等变换法计算 .

于是, .

综上所述,

注 本题中矩阵 的形式较简单,在计算 的特征值时,通过计算 的特征多项式来得到它们的特征值可以使得计算简单.