题18

题18

题目

[!question]+
已知平面区域 ,计算二重积分

分析

[!NOTE]+
二重积分画不出来图怎么办？不慌！尝试用极坐标算二重积分来画这个图，或者奇偶性化简二重积分，我们看看积分区域的奇偶性来确定图形的大致性质，看看能不能化简，这种类似的区域我们也画过：题18

解

[!done]-

通过观察可知,本题中的区域 关于 轴对称,故可以利用对称性将所求二重积分化简. 根据被积函数的特点, 应选择在极坐标系下计算二重积分.

解 如图所示,区域 由直线 ,以及曲线 围成. 由区域 的表达式可知,区域 关于 轴对称. 记 为 位于 轴右方的区域.

由于 为关于 的奇函数, 为关于 的偶函数,故由对称性可得,

在极坐标系下计算 .

写出区域 在极坐标系下的表示.

边界曲线 的极坐标表示为 轴的极坐标表示为 的极坐标表示为 ,即 . 于是,

因此,