题7

题7

题目

[!question]+
(7) 下列矩阵中,与矩阵 相似的为
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .

分析

[!NOTE]+
jordan标准型这个题目

解

[!done]-
(1) 若 与 相似, 为常数, 则 与 相似. 特别地, 当 是 的特征值时, 该结论也成立.

(2) 若两矩阵相似, 则它们的秩相等.

解 已知矩阵与四个选项中的矩阵的特征多项式均为 , 故 1 为这五个矩阵的三重特征值.

记 , 则 . 于是 .

记 , 则 . 于是 .

记 , 则 . 于是 .

记 , 则 . 于是 .

记 , 则 . 于是 .

由上可见, 只有 与 的秩相等, 而 与 的秩均不相等, 故 与 不相似, 从而 与 不相似. 由排除法可知, 应选 A.

注 ① 矩阵 不相似于对角矩阵, 故不能通过寻找选项中与其相似于同一个对角矩阵的矩阵的方法来解题.

② 对 3 阶矩阵来说, 若两个矩阵的特征值相同, 且相同特征值所对应的线性无关的特征向量的个数相同, 则它们相似. 但是对 4 阶或 4 阶以上的矩阵来说, 该命题并不成立. 特征值相同, 且相同特征值所对应的线性无关的特征向量的个数相同是两矩阵相似的必要条件, 但不是充分条件.

例如: 与 的特征值均为 1, 且特征值 1 均有两个线性无关的特征向量, 但是它们不相似. 该例子的证明较难, 不在我们的学习范围之内. 大家只需了解我们陈述的结论即可.

③ 事实上, 本题的解题过程说明选项 B、C、D 中的矩阵均有两个属于特征值 1 的线性无关的特征向量, 而已知矩阵和选项 A 中的矩阵仅有一个属于特征值 1 的特征向量. 从而, 选项 B、C、D 不正确. 由排除法可知选项 A 正确. 实际上, 利用 ② 的结论, 我们可以确定选项 A 中的矩阵与已知矩阵相似.