题4
题目
[!question]+
(4) 设函数 在 上二阶可导,且 ,则 ( )
(A) 当 时, .
(B) 当 时, .
(C) 当 时, .
(D) 当 时, .
分析
[!NOTE]+
给了原函数和二阶导，应该考虑用泰勒公式来让两者之间形成关系，另一方面还要考虑导数极限定理，尤其是涉及一些具体的值的时候，着重考虑泰勒，如果是研究一些性质，特别是包含一些区间信息的时候，应该选择导数极限定理：题3
解
[!done]-
四个选项都与 有关，故我们可以考虑 在 处的带有拉格朗日余项的一阶泰勒公式，并将其代入已知条件 以得到进一步的信息。
此外，也可以利用凹曲线的几何性质以及定积分的性质来解。
若曲线 是凹曲线，则该曲线上任意一点处的切线均位于该曲线之下；若曲线 是凸曲线，则该曲线上任意一点处的切线均位于该曲线之上。
解 (法一) 考虑 在 处的带有拉格朗日余项的一阶泰勒公式：
其中 介于 与 之间。
.
由于 ，故 。当 时，，于是，。同理可得，当 时，。
因此，应选 D。
下面说明选项 A 和选项 C 不正确。
选项 A：考虑 ，则 且 ，但 。
选项 C：考虑 ，则 且 ，但 。
(法二) 记 ，则 为曲线 在点 处的切线。
如图所示，当 时，由凹曲线的几何性质可知，曲线 在点 处的切线 位于 之下，即 。
由于 ，故 在 上不恒等于 ，从而由定积分的性质可知，
因此，。应选 D。
注 本题中，可以如下寻找反例以排除错误选项。
选项 A: 。考虑 ，则 。于是，。因此，函数 满足已知条件以及选项 A 的条件，但 。
选项 B: 。考虑 ，则 。于是，。因此，函数 满足已知条件以及选项 B 的条件，但 。
选项 C: 。考虑 ，则 。于是，。因此，函数 满足已知条件以及选项 C 的条件，但 。