题22

题22

题目

[!question]+
设实二次型 ,其中 是参数.
( I ) 求 的解;
( II ) 求 的规范形.

分析

[!NOTE]+
正定二次型、正定矩阵，还有规范形的知识有点忘记了,我觉得这个题目还挺经典的

解

[!done]-
已知二次型 可写为三个平方式之和，故 当且仅当这三个平方式均为零，故第 (I) 问可以转化为齐次线性方程组的问题。

第 (II) 问要求 的规范形。要注意讨论 的秩，从而确定规范形中的系数。

解 (I) 当且仅当

记 为该方程组的系数矩阵。对 作初等行变换。

当 时，，方程组只有零解。

当 时，。方程组的基础解系仅包含一个向量。取 为自由变元，令 ，解得 为该方程组的一个基础解系。

因此，当 时， 的解为 ；当 时， 的解为 ，其中 为任意常数。

(II) 由 的表达式知，。

当 时，由第 (I) 问可知， 只有零解， 为正定二次型。

因此，当 时， 的规范形为 。

当 时， 不满秩。

记 对应的对称矩阵为 。

下面用三种方法求 的规范形。

(法一) 由 可知 的负惯性指数为 0。由于 的秩等于 的正、负惯性指数之和，故 的正惯性指数等于 。

计算 得 ，故 。又因为 有一个 2 阶子式 ，所以 。因此，。

综上所述， 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0。 的规范形为 。

(法二) 计算 的特征值，从而得到 的正、负惯性指数。

计算 的特征多项式：

解 可得 。由于 ，故 有两个正特征值，一个零特征值，从而 的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0。

因此， 的规范形为 。

(法三) 配方法。

令 则 。

因此， 的规范形为 。

(注) 求 的规范形时，不能忽略 时的情况。由第 (I) 问可知，当 时，线性变换 不是可逆线性变换。因此，二次型 并不合同于 ，不能将其规范形写为 。