题14

题14

题目

[!question]+
设 为 3 阶矩阵, 为线性无关的向量组. 若 , ,则 的实特征值为___.

分析

[!NOTE]+
阴差阳错的让等价向量组和矩阵相似搭上的关系,没想明白这里的这个可交换矩阵AB=BA是怎么构造出来的

解

[!done]-
由已知条件，可以得到一个与矩阵相似的矩阵。利用相似的矩阵具有相同的特征值这一性质，我们可以计算矩阵的实特征值，从而得到矩阵的实特征值。

(解) 记。由于线性无关，故可逆。

由题设可知，

于是，。由矩阵相似的定义可知，与相似。

下面计算矩阵的特征多项式。

由于，故仅有一个实根，即。于是，仅有一个实特征值2。

又因为与相似，而相似的矩阵具有相同的特征值，所以的实特征值为2。

注：本题的结果说明，即使包括重数，阶矩阵也不一定具有个实特征值。