题8

题8

题目

[!question]+
(8) 已知矩阵 ,则 ( )
(A) 与 相似, 与 相似.
(B) 与 相似, 与 不相似.
(C) 与 不相似, 与 相似.
(D) 与 不相似, 与 不相似.

分析

[!NOTE]+
这种难道不是jordan标准型吗，C不是jordan标准型，怎么能和一个jordan标准型相似呢？我们和几个题目结合起来看，这种题型还可以延伸到，不可相似对角化的矩阵相似，我们是通过解矩阵方程的办法来处理的：题501
我们通过这道题再来复习一下怎么判断矩阵相似：题5.9

应该选B

解

[!done]-
四个选项考虑的均是 是否与 相似,而 是一个对角矩阵,故可以从考虑 是否能相似对角化入手.

阶矩阵 与对角矩阵相似的充分必要条件 有 个线性无关的特征向量.

(解) 分别计算 的特征多项式,均为 ,故 具有相同的特征值,其中 2 是二重特征值.

矩阵 是对角矩阵,故其相似于其自身.

考虑属于特征值 2 的特征向量.

由上可知, . 于是, 的基础解系包含两个向量, 有 2 个线性无关的属于特征值 2 的特征向量; 而 的基础解系只包含一个向量, 只有 1 个线性无关的属于特征值 2 的特征向量.

因此,加上属于特征值 1 的特征向量, 共有 3 个线性无关的特征向量, 与 相似; 只有 2 个线性无关的特征向量, 与 不相似. 应选 B.

过 对于实对称矩阵, 两矩阵相似当且仅当它们的特征值全部相同; 而对于一般矩阵, 特征值相同只是矩阵相似的必要非充分条件. 例如: 本题中的矩阵 与矩阵 ,它们的特征值相同, 但它们不相似.