题3

[!question]+
(3) 设数列收敛,则 ( )
(A) 当时, .
(B) 当时, .
(C) 当时, .
(D) 当时, .

[!NOTE]+
又是这种数列极限和函数之间是否一一对应，然后判断收敛与否的问题

[!done]-
若数列收敛到 ,且连续,则数列收敛到 .

对本题而言, 排除法是较快的解法.

解 (法一) 记 ,则由是连续函数以及可知,

是函数的零点.

注意到 ,又因为 ,所以单调增加. 于是是的唯一零点, . 因此, . 应选 D.

(法二) 记 ,则 . 于是是单调增加的可导函数, 存在且连续.

由于 ,故

应选 D.

(法三) 排除法.

对选项 A: 考虑 ,则 ,但 .

对选项 B 和选项 C: 考虑 ,则

但 .

由排除法知,应选 D.

注本题可以从如下角度来考虑反例的选取.

注意到四个选项中出现的函数均为连续函数,而对连续函数 ,有 . 记 ,若能得到的非零解,则可得到反例.

选项的解为为整数. 除了法三给出的反例外,还可以取为整数.

选项的解为或 .

选项 D: 的解只有 .

因此,选项 $、、$ 均可找到反例,而选项正确.

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