题23

题23

题目

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设二次型 在正交变换 下的标准形为 ,求 的值及一个正交矩阵 .

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
解 记二次型 对应的实对称矩阵为 ，则

由于 在正交变换 下的标准形为 ，故 的特征值为 。从而 。

计算 的行列式得

因此，, 。

计算 的特征多项式得

于是， 的 3 个特征值分别为 。

当 时，

表示对第 行作初等行变换后所得新的第 行，每作一次初等行变换，加一个 。)

的一个基础解系为 。

当 时，

的一个基础解系为 。

当 时，

。

的一个基础解系为 。

由于实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需要将所得特征向量单位化。

将 分别单位化，作为 的列向量，得正交矩阵 ，且 ，即 在正交变换 下的标准形为 。

注 得到 的三个线性无关的特征向量后，要注意将它们单位正交化，使得这三个特征向量组成的矩阵为正交矩阵。在本题中，由于 是实对称矩阵，三个特征值互异，其对应的特征向量已经相互正交，故只需要进行单位化