题22

题22

题目

[!question]+
设 3 阶矩阵 有 3 个不同的特征值,且 .
(I) 证明 ;
(II) 若 ,求方程组 的通解.

分析

[!NOTE]+

解

[!done]-
第 ( I ) 问要证明 的秩为 2,可以转化为证明 的行列式为零. 第 ( II ) 问主要考查解线性方程组.

解 (I) (法一) 由于 有 3 个不同的特征值 ,故 相似于对角矩阵,且至多仅有一个零特征值. 该对角矩阵的秩 ,于是 .

又因为 ,所以 线性相关, . 由于 ,故 有一个特征值为零. 因此, .

(法二) 也可以如下证明 0 是 的一个特征值.

由 知

于是, 是 的一个特征值, 是 的属于特征值 0 的一个特征向量.

其余同法一.

(II) 考虑 . 由于 ,故 的基础解系中只包含一个向量. 又因为 ,所以 ,即 是该齐次线性方程组的一个基础解系. 由于 ,即 ,故 是 的一个特解. 因此, 为线性方程组 的通解,其中 为任意常数.

注 对于可相似对角化的矩阵, 其矩阵的秩等于非零特征值的个数. 但对于一般矩阵, 该结论不一定成立. 例如: , 只有 1 个非零特征值,但 .